Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Julio 2023

5. Geometría:

a)  Considérese el plano , donde a es un parámetro real, y la recta      . Estudie la posición relativa de  y r en función de a y obtenga el valor de a que hace que  y r sean perpendiculares. Por último, razone si r puede estar contenida en  o no.

b)  Si , diga qué valor tiene que tomar b para que       esté contenida en .

 

a)   Primero, vamos a obtener un punto de la recta y su vector director:

De la ecuación general del plano podemos obtener fácilmente el vector normal:

Vamos a comprobar si hay algún valor del parámetro que hace que el vector director de la recta y el vector normal del plano sean perpendiculares. La condición que cumplen los vectores perpendiculares es que su producto escalar es cero:

 

 

 

 

En este caso tenemos dos posibilidades, o que la recta y el plano sean paralelos, o bien, que la recta esté contenida en el plano:

 

          

 

 

Para saber cuál de las dos posiciones relativas tenemos, vamos a comprobar si un punto de la recta, por ejemplo, el punto P pertenece o no al plano. Para eso sustituimos el punto en el plano y vemos si cumple o no la ecuación:

 

 

Como vemos, el punto de la recta no pertenece al plano, por lo que para  la recta y el plano son paralelos y no hay ningún valor del parámetro que hace que la recta esté contenida en el plano.

 

La otra posibilidad que nos queda es que la recta y el plano sean secantes, eso ocurrirá cuando el valor de .

 

La recta y el plano serán perpendiculares cuando el vector director de la recta y el normal del plano sean paralelos, para eso las coordenadas de ambos deben ser proporcionales:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Por lo tanto, la recta y el plano serán perpendiculares para .

 

 

b)  Ahora nos dan el mismo plano del apartado anterior con el valor del parámetro que hacía que la recta fuese paralela al plano o estuviera contenida en este. Pero la ecuación de la recta cambia, porque el punto no es el mismo ya que introducen un parámetro en la segunda coordenada. Para saber si la recta está contenida en el plano hacemos lo mismo que en el apartado anterior, es decir, sustituimos el punto de la recta en la ecuación del plano y calculamos el valor de b que la satisface:

Para  la recta está contenida en el plano.