Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Julio 2022

PREGUNTA 4. Análisis. Dada la función  

 

 

a)  Calcule el valor del parámetro a para que la función f(x) sea continua en R.

b)  Para , calcule los extremos relativos de la función f(x) y represéntela.

c)  Calcule el área de la región limitada por la función f(x), para , y las rectas y = 0, x = 0 y x =2.

 

 

a)  La función es continua en , por tratarse de dos trozos polinómicos. Vamos a calcular el valor del parámetro a, para que sea continua también en x =1 y por lo tanto en .

 

 

 

 

b)  Para calcular los puntos críticos hacemos la primera derivada y la igualamos a cero:

 

 

 

Hacemos la segunda derivada y sustituimos el valor obtenido para saber si es un máximo, un mínimo o no es un extremo relativo:

 

 

 

 

La función presenta un máximo relativo en el punto (0, 1).

 

Hacemos la representación gráfica teniendo en cuenta que el primer trozo es una parábola con vértice en el máximo relativo que acabamos de calcular y, el segundo trozo, una recta:

 

 

 

 

c)   Identificamos el área que nos piden calcular:

 

 

 

Como vemos hay dos áreas que sumadas nos dan el área total. Calculamos la primera planteando la integral correspondiente:

 

 

La segunda área se puede calcular de dos maneras. Como es un triángulo rectángulo, con la fórmula del área de esta figura geométrica o bien planteando la integral. En cualquier caso, llegamos al mismo resultado:

 

 

 

Sumamos y obtenemos el área total: