Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Junio 2023

PREGUNTA 2.  Álgebra. Un grupo empresarial desea crear una red de producción formada por plantas de dos tipos: A y B. Cada planta de producción A generaría unos costes mensuales de 1 000 euros y necesitaría 8 empleados para su funcionamiento, mientras que cada planta de producción B generaría unos costes mensuales de 2 000 euros y necesitaría 4 empleados. El número de plantas de producción A no deberá superar al doble de las de tipo B. Además, los costes mensuales de esta red de producción no deben superar los 42 000 euros y tampoco debe suponer la contratación de más de 120 empleados.

a)  Formule el sistema de inecuaciones asociado al problema.

b)  Represente gráficamente la región factible y calcule sus vértices.

c)   Si se sabe que cada planta de producción A generaría unos beneficios mensuales de 24 000 euros y cada planta de producción B de 20 000 euros, ¿cuántas plantas de producción de cada tipo deberían formar la red para que los beneficios mensuales sean máximos?

 

a)   Definimos:

 

x: número de plantas de producción tipo A.

y: número de plantas de producción tipo B.

 

Comenzamos por escribir las restricciones. Para ello, el enunciado nos dice que el número de plantas de producción A no deberá superar al doble de las de tipo B:

 

 

También que los costes mensuales de la red de producción deben ser igual o inferior a los 42 000 € y que los costes de las plantas A y B son de 1 000 y 2 000 € respectivamente:

 

 

Por último, el número de empleados debe ser igual o inferior a 120 sabiendo que la planta A necesita 8 y la planta B sólo 4 empleados:

 

 

Nos queda imponer una restricción más y que cuando dibujemos la región factible vamos a comprender que es necesaria y evidente:

 

 

 

b)  Representamos el conjunto de soluciones e identificamos la región factible:

 

 

 

Calculamos los vértices:

 

      ;    

 

   ;    

 

 

c)   La función beneficios sería la siguiente:

 

 

Calculamos el valor que toma en cada uno de los vértices:

 

 

 

 

 

La solución óptima de la función objetivo, que es la que proporciona más beneficios, es la del vértice C. Deberían crear una red de producción formada por 6 plantas tipo A y 18 plantas tipo B y obtendrían así unos beneficios de 504 000 €.