Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Junio 2026

PREGUNTA 4. GEOMETRÍA. (2 puntos).

Responda uno de estos dos apartados: 4.1. o 4.2.

4.1. Sea r la recta que pasa por el origen y por P’, siendo P’ el punto simétrico de P(1, 0, 1) con respecto al punto Q(0, 1, 0). Se pide:

4.1.1. Obtenga P’ y las ecuaciones paramétricas de r.

4.1.2. Determine la ecuación implícita del plano que pasa por el origen y es perpendicular a r.

4.1.

4.1.1.Si P’ es el punto simétrico del punto P con respecto al punto Q, entonces este último es el punto medio de los otros dos:

Para determinar la recta r necesitamos un punto y un vector director:

4.1.2.Como el plano que nos piden perpendicular a la recta r, el vector director de la recta sería el vector normal del plano. Además necesitamos un punto y el enunciado nos dice que pasa por el origen, por lo tanto:

4.2. Considérense los puntos P(1, 0, 1), Q(0, 1, 0) y R(1, 1, 1).

4.2.1.Demuestre que P, Q y R no están alineados y obtenga la ecuación implícita del plano

que pasa por ellos.

4.2.2.Calcule el valor o valores de a que hacen que la distancia del punto S(a, 0, 0) a ese plano

sea igual a

unidades de longitud.

4.2.

4.2.1.Se puede demostrar de varias maneras que 3 puntos no están alineados. Una de ellas consiste en hacer 2 vectores con esos puntos y comprobar que eses vectores tengan distinta dirección, es decir, que las coordenadas de uno no sean proporcionales a las del otro:

Para comprobar si son proporcionales basta con dividir las coordenadas de uno entre las del otro:

Como las igualdades no dan lo mismo, las coordenadas no son proporcionales, los vectores no tienen la misma dirección y, por lo tanto, los puntos P, Q y R no están alineados.

Para calcular la ecuación del plano necesitamos dos vectores que no tengan la misma dirección, es decir, nos valen los dos que tenemos calculados y un punto: