Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Julio 2026
PREGUNTA 3. ANÁLISIS. (4 puntos).
Responda dos de estos tres apartados: 3.1., 3.2., 3.3.
3.1. Dado el polinomio .png)
, calcule los coeficientes a, b, c y d si se sabe que p tiene un extremo relativo en .png)
y que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de p en .png)
es .png)
.
, calcule los coeficientes a, b, c y d si se sabe que p tiene un extremo relativo en y que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de p en es .
Si la función tiene un máximo o un mínimo relativo, la pendiente de la recta tangente en ese punto, x = 1, es cero, es decir:
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Además la función pasa por ese punto, por lo tanto cumple:
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La pendiente de la recta tangente en .png)
es 4:
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También podemos calcular la coordenada y del punto de tangencia entre la función y la recta:
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El punto .png)
también es un punto de la función:
también es un punto de la función:.png){kind=small}
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Con estas 4 ecuaciones planteamos un sistema, resolvemos y calculamos los coeficientes del polinomio:
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El sistema escalonado que nos queda es el siguiente:
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3.2. Dibuje la gráfica de una función .png)
que tenga las siguientes propiedades:
que tenga las siguientes propiedades:
· f, f’ y f’’ tienen el mismo signo en el intervalo .png)
y
y
· .png)
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.
.
Luego, dé explicaciones relacionando el dibujo con la monotonía, la convexidad o concavidad y el concepto de asíntota.
La gráfica que cumpla las condiciones descritas podría ser la siguiente:
La función f en el intervalo .png)
es positiva puesto que las imágenes de todos los valores de x de ese intervalo, lo son (está dibujada por encima del eje X). La primera derivada, f’, nos indica el crecimiento y decrecimiento de la función. También es positiva, puesto que la función es creciente en ese intervalo. La segunda derivada nos informa acerca de la curvatura. También es positiva, puesto que la función, en el citado intervalo, es convexa.
es positiva puesto que las imágenes de todos los valores de x de ese intervalo, lo son (está dibujada por encima del eje X). La primera derivada, f’, nos indica el crecimiento y decrecimiento de la función. También es positiva, puesto que la función es creciente en ese intervalo. La segunda derivada nos informa acerca de la curvatura. También es positiva, puesto que la función, en el citado intervalo, es convexa.Por último, cuanto más nos acercamos a x = 2 por la derecha, más negativo es el valor de la imagen. Por lo tanto, para valores muy próximos, en el límite, los valores de y tienden a menos infinito. Por eso en x = 2 hay una asíntota vertical y, además, ese valor no es del dominio de la función.
3.3. Dadas las funciones .png)
y .png)
, dibuje la región encerrada por sus gráficas y calcule su área.
y , dibuje la región encerrada por sus gráficas y calcule su área.
La función g(x) es una parábola. Vamos a calcular su vértice:
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Las dos funciones tienen la misma imagen en dos puntos en .png)
y en .png)
:
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Con estos datos dibujamos las funciones e identificamos el área encerrada:
Para calcular el área planteamos la integral restando a la función que encierra el área por arriba, f(x), la que la encierra por abajo entre los puntos de corte de las funciones:
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