Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Junio 2026

PREGUNTA 3. ANÁLISIS. (4 puntos).

Responda uno de estos tres apartados: 3.1., 3.2., 3.3.

3.1. Para cada uno de los siguientes casos, dibuje, cuando sea posible, la gráfica de una función que cumpla las propiedades indicadas:

a) Continua pero no derivable en x = 0.

b) Continua en [a, b], con f(a)·f(b) < 0, y cuya gráfica corte al eje x en más de un punto del intervalo (a, b).

c) Continua en [a, b], derivable en (a, b), con f(a)·f(b) < 0, f’ > 0 en (a, b), y cuya gráfica corte al eje x en más de un punto del intervalo (a, b).

d) Dos veces derivable en

, con f’’ > 0 en

y monótona en

3.1.

a) La siguiente función cumple las condiciones propuestas:

Es una función continua en

y el único punto donde puede no ser continua es en x = 0, veamos:

Por lo tanto, la función es continua en

. Estudiamos ahora la derivabilidad en x = 0:

La función es derivable en

La gráfica sería la siguiente:

b) La función que cumple las condiciones que nos dicen es, por ejemplo, la siguiente:

La función es polinómica por lo tanto es continua en el intervalo propuesto. Comprobamos la condición de que la imagen toma signos distintos en los extremos:

Calculamos los puntos de corte con el eje X:

Corta al eje X en tres puntos: (0, 0); (1, 0) y (2, 0).

La gráfica de la función sería:

c) No es posible dibujar una función que cumpla las condiciones, porque si f(a)·f(b) < 0, significa que los extremos de la función, uno está por debajo del eje X y el otro por encima. Como la función tiene que ser continua en el intervalo [a, b] y siempre creciente (f’ > 0), solo podría cortar al eje X una vez en el intervalo (a, b).

d) La función que cumple los requisitos será:

Se trata de una función continua y derivable en

pues se trata de un función exponencial. Hacemos la primera derivada para estudiar el crecimiento y decrecimiento:

Esta función es siempre creciente, puesto que para cualquier valor, la primera derivada siempre es positiva (f’ > 0). Por lo tanto, la función es monótona creciente en

. Hacemos la segunda derivada:

Al igual que la primera derivada, la segunda también es positiva para cualquier valor (f’’ > 0), por lo que la función es siempre convexa. Hacemos la gráfica: