Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Junio 2026
PREGUNTA 2. ÁLGEBRA. (2 puntos).
Responda uno de estos dos apartados: 2.1 o 2.2.
2.1. Considérese la igualdad matricial .png)
, donde X es cuadrada e I es la matriz identidad.
, donde X es cuadrada e I es la matriz identidad.
2.1.1.Despeje X suponiendo que A y B son cuadradas e invertibles.
2.1.2.¿Qué dimensiones tienen X y B si A y C son matrices .png)
? Obtenga X, simétrica y tal que los elementos de su diagonal sumen 0, si .png)
, .png)
y .png)
.
? Obtenga X, simétrica y tal que los elementos de su diagonal sumen 0, si , y .2.1.
2.1.1.Despejamos la matriz X, para ello multiplicamos por la inversa de la matriz A por la izquierda y por la de B por la derecha, en los dos miembros de la ecuación matricial:
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2.1.2.Deducimos el orden de las matrices X y B, sabiendo el orden de A y de C y que, para poder multiplicar dos matrices el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda y para sumar o restarlas deben tener el mismo orden:
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Para calcular la matriz X sabemos que es simétrica, es decir, los elementos por encima de la diagonal principal coinciden con los que están por debajo. Además, sabemos que los elementos de la diagonal principal suman cero, por lo tanto debería ser así:
.png){kind=small}
Nos dicen que B es la matriz identidad:
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Para que dos matrices sean iguales deben serlo también todos sus elementos. Igualando obtenemos un sistema del que obtenemos los elementos de la matriz que nos piden:
.png){kind=small}
La matriz X será la siguiente:
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2.2. Discuta, según los valores del parámetro m, el sistema:
.png)
2.2. Planteamos dos matrices, la de coeficientes (A) y la ampliada con los términos independientes (A*):
.png)
Calculamos el determinante de la matriz A para determinar su rango. I:
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Igualamos a cero el determinante para saber qué valores de m lo anulan:
.png){kind=small}
El rango de la matriz A será:
· Si .png)
.
.· Si .png)
, ya que encontramos algún determinante de este orden distinto de cero:
, ya que encontramos algún determinante de este orden distinto de cero:.png){kind=small}
· Si .png)
, ya que también encontramos algún determinante de este orden distinto de cero:
, ya que también encontramos algún determinante de este orden distinto de cero:.png){kind=small}
Los casos que tenemos entonces serían los siguientes:
· Si .png)
El rango de la matriz ampliada es 3, porque el determinante de A, que era distinto de cero, también está en la matriz ampliada.
· Si .png)
El rango de la matriz ampliada es 3 porque hay algún determinante de este orden distinto de cero:
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· Si .png)
El rango de la matriz ampliada es 3 porque hay algún determinante de este orden distinto de cero:
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