Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Julio 2025

PREGUNTA 4. GEOMETRÍA. (2,5 puntos). Responda uno de estos dos apartados: 4.1. o 4.2.

4.1. Considérense los planos  y  y los puntos  y .

4.1.1.  Calcule la distancia del punto A al plano paralelo a  que pasa por B.

4.1.2.  Obtenga las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de los planos  y .

 

4.2. Dadas las rectas r:       y s:     .

4.2.1. Calcule la posición relativa de las rectas r y s.

4.2.2. Obtenga la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s.

 

4.1.   

4.1.1. Al plano que pasa por B y es paralelo a  lo vamos a llamar . Para obtener la ecuación tenemos el vector normal, al ser paralelo a  los vectores normales también lo son y, un punto, el B:

 

 

 

 

 

Ahora calculamos la distancia del punto A a este plano:

 

 

 

 

 

4.1.2. Para calcular las ecuaciones paramétricas de la recta resultante de la intersección de los dos planos basta resolver el sistema formado por las ecuaciones de esos planos. Ese sistema es compatible indeterminado ya que la solución son los infinitos puntos de la recta:

 

 

 

 

La ecuación de la recta será:

 

 

 

4.2.   

4.2.1. Primero obtenemos un punto y el vector director de cada recta:

 

 

Hacemos otro vector con los puntos de las dos rectas:

 

 

Planteamos dos matrices, una con los vectores directores de las dos rectas, A, y otra con los vectores directores y el vector que hicimos con los puntos de las dos rectas, A^*. Calculamos los rangos y determinamos la posición relativa de las rectas:

 

 

El rango de la matriz A, como mucho, puede ser 2, pero todos los determinantes de este orden son cero ya que las dos filas son proporcionales, F₂ = 2·F₁. El rango de A será 1 porque contiene elementos no nulos. Esto significa que los vectores tienen la misma dirección, por lo que las rectas son o coincidentes o paralelas.

 

El rango de A^* es 2, ya que el determinante de orden 3 es cero (sigue teniendo dos filas proporcionales, la primera y la segunda) y sin embargo tiene algún determinante de orden 2 distinto de cero:

 

 

Así entonces, las rectas son paralelas ya que el vector que va de la recta r a la s tiene distinta dirección que los vectores directores de las rectas.

 

 

4.2.2. Para determinar el plano necesitamos dos vectores contenidos en el mismo y que no tengan la misma dirección. Nos sirven uno de los vectores directores y el vector . También necesitamos un punto del plano, por ejemplo, el P: