Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Julio 2025

PREGUNTA 3. ANÁLISIS. (2,5 puntos). Responda uno de estos dos apartados: 3.1. o 3.2.

3.1. Responda a las dos cuestiones siguientes:

3.1.1. Enuncie el teorema del valor medio del cálculo diferencial.

3.1.2. Calcule .

3.2. Dada la función , se pide responder a las siguientes cuestiones:

3.2.1. Estudie la continuidad de la función f(x) en .

3.2.2. Estudie la derivabilidad de la función f(x) en .

3.2.3. Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva f(x) en .

 

3.1.   

3.1.1. El enunciado del teorema del valor medio del cálculo diferencial es:

 

Sea f(x) una función continua en  y derivable en . Existe por lo menos un  .

 

En este caso el teorema nos dice que va a haber algún punto donde la recta tangente a la función va a tener la misma pendiente que la cuerda que pasa por los extremos de esta.

 

 

 

3.1.2. La integral la vamos a resolver por partes. Tomaremos para derivar la función trigonométrica y para integrar la exponencial, pero podríamos resolverla igual si tomamos las partes al revés:

 

 

 

 

La integral quedaría:

 

 

Esta última integral vamos a volver a resolverla por partes:

 

 

 

 

Ahora quedará:

 

 

 

Como volvemos a obtener la misma integral del principio, podemos pasarla para el otro miembro de la ecuación sumando y a partir de ahí obtenemos la solución:

 

 

 

 

 

 

 

3.2.   

3.2.1. Estudiamos la continuidad en el punto x = 0:

 

 

 

 

 

3.2.2. Como la función es continua en x = 0, puede ser derivable en el mismo punto, la estudiamos. Para calcular la derivada por la derecha, la indeterminación la resolvemos aplicando la regla de L´Hôpital:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.2.3. Para calcular la recta tangente necesitamos la derivada de la función. Así antes de nada la calculamos:

 

 

 

La ecuación de la recta tangente a una función en un punto, (x₀, y₀), se calcula así:

 

 

Por lo tanto, necesitamos la pendiente de la misma, que se calcula con la derivada de la función en ese punto:

 

 

 

También necesitamos la imagen del punto que la obtenemos en la función original:

 

 

Sustituyendo ahora en la ecuación obtenemos la recta que nos piden: