Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Julio 2025

PREGUNTA 2. NÚMEROS Y ÁLGEBRA. (2,5 puntos). Responda uno de estos dos apartados: 2.1. o 2.2.

 

2.1. Dadas las matrices  y .

 

 

2.1.1. ¿Qué condición tiene que cumplir k para que A sea invertible? Calcule  cuando sea posible.

2.1.2. Para k = 0, calcule la matriz X que satisfaga la igualdad  siendo A^T la traspuesta de A.

 

2.2. Discuta, según los valores del parámetro m, el sistema:

 

 

2.1.   

2.1.1. La condición necesaria para que una matriz tenga inversa es que su determinante sea distinto de cero:

Así entonces calculamos el determinante e igualamos a cero para saber para qué valores del parámetro no existe inversa:

Como vemos, independientemente del valor de k el determinante es siempre distinto de cero, por lo cual, existe inversa para cualquier valor del parámetro.

Calculamos la inversa:

 

 

Obtenemos la traspuesta de la adjunta:

 

 

Por último, calculamos la matriz inversa:

 

 

 

 

 

 

2.1.2. La matriz A para k = 0 nos queda:

Ahora despejamos X en la ecuación matricial:

 

Para calcular la matriz inversa de A simplemente sustituimos k por cero en la matriz obtenida en el apartado anterior:

 

Calculamos B² y vemos que es igual a la matriz identidad, I:

 

A esta matriz le sumamos la traspuesta de A y la propia matriz A:

Por último, calculamos la matriz X:

 

2.2.  Planteamos dos matrices, la de coeficientes (A) y la ampliada con los términos independientes (A^*):

 

 

Calculamos el determinante de la matriz A para determinar su rango. I:

 

 

Igualamos a cero el determinante para saber qué valores de m lo anulan:

 

 

El rango de la matriz A será:

 

· Si  .

 

· Si  , ya que encontramos algún determinante de este orden distinto de cero:

 

· Si  , ya que también encontramos algún determinante de este orden distinto de cero:

 

Los casos que tenemos entonces serían los siguientes:

 

· Si 

El rango de la matriz ampliada es 3, porque el determinante de A, que era distinto de cero, también está en la matriz ampliada.

 

 

· Si 

 

El rango de la matriz ampliada es 2 porque todos los determinantes de orden 3 son nulos:

 

 

 

· Si 

 

El rango de la matriz ampliada es 3 porque hay algún determinante de este orden distinto de cero: