Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Julio 2025

EJERCICIO 2. ÁLGEBRA. (2,5 puntos)

 

Responda uno de estos dos apartados: 2.1. o 2.2.

 

2.1. Consideramos las matrices:

 

 

2.1.1. Calcule la inversa de la matriz A.

2.1.2. Calcule la matriz  y determine su rango (siendo  la matriz traspuesta de A).

2.1.3. Despeje X en la ecuación matricial  y calcúlela.

 

2.1.1. Para calcular la inversa comenzamos con el determinante:

 

 

Ahora calculamos la matriz adjunta:

 

 

 

Obtenemos la traspuesta de la adjunta:

 

 

Por último, calculamos la matriz inversa:

 

 

 

 

 

2.1.2. El producto de matrices que nos piden es posible porque las columnas de la primera matriz coinciden con las filas de la segunda. El resultado sería:

 

 

 

El rango de una matriz es igual al orden del mayor determinante no nulo. En este caso como mucho puede ser 2, pero no lo es porque los tres determinantes de este orden que podemos calcular son nulos. Dos de ellos porque tienen una columna con todos los elementos nulos y el único que no los tiene también da cero:

 

 

Por lo tanto, el rango de la matriz es 1 porque para eso es suficiente con que tenga algún elemento no nulo.

 

 

2.1.3. Para calcular la matriz X, primero la despejamos de la ecuación matricial. Para ello pasamos la matriz B para el otro miembro de la ecuación:

 

 

Ahora, multiplicamos por la inversa de la matriz A por el lado derecho en los dos miembros de la ecuación:

 

 

 

Hacemos cálculos. Como la matriz  la tenemos calculada en el apartado anterior, a esa matriz le restamos B:

 

 

 

Como también tenemos la matriz inversa de A calculada, en el primer apartado, solo nos queda hacer el producto de las dos matrices para obtener el resultado: