Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Julio 2024

PREGUNTA 3. Análisis.

Dada la función , se pide responder a las siguientes cuestiones:

a)  ¿Cuál es el valor de k que hace que f sea continua en x = 0 para cualquier valor de b?

b)  ¿Para qué valores de b y k es f derivable en x = 0?

a)  La función f(x) es continua en  porque la primera parte de esta es una función polinómica y, por lo tanto, continua y, la segunda, una racional en la que el valor que anula el denominador es el cero, pero no está en el dominio de esta segunda parte. Para que la función sea continua, debe serlo también en el punto x = 0:

En el límite por la derecha el valor de k tiene que ser igual a cero para que la función sea continua. Si tomara cualquier otro valor el límite sería más o menos infinito, dependiendo del signo del parámetro y la función no sería continua:

Para que la función sea continua en x = 0 el valor de k = 0.

b)  Para que una función sea derivable tiene que ser continua, por lo tanto, k = 0. Estudiemos ahora la derivabilidad. Como la función es continua en ese punto, puede ser derivable. Lo comprobamos:

Para resolver la indeterminación en el segundo límite se aplica la regla de L’Hôpital.

La función es continua y derivable si    y  .