Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Julio 2024

EJERCICIO 4. Análisis. Una fábrica produce un artículo de pesca deportiva y vende cada unidad a un precio P(x) (en euros) que depende del número total de unidades producidas x:

 

 

Se sabe que la producción de x unidades supone un coste fijo de 80 euros más un coste variable de 11,25 euros por unidad.

a)  Calcule las expresiones de las funciones coste, ingreso y beneficio.

b)  ¿Cómo  debe  planificarse  la  producción  para  que  el  beneficio  sea  máximo?  ¿A cuánto asciende dicho beneficio? ¿Cuál sería el precio de venta por unidad en ese caso?

 

a)   La función coste, en euros, es la suma del coste fijo más el variable:

La función ingreso, en euros, será el producto del precio de cada unidad vendida por el número de unidades que se venden:

 

Por último, la función beneficio, también en euros, será la diferencia entre los ingresos y los costes:

 

b)  Para saber el número de unidades que se deben fabricar para maximizar los beneficios, debemos calcular los puntos críticos de la función B(x). Es decir, debemos hacer la primera derivada e igualarla a cero:

 

 

 

El valor negativo no tiene sentido porque x eran las unidades producidas. Nos llega con saber si en x = 25 hay un máximo o un mínimo. Lo podemos saber fácilmente mirando el signo de la primera derivada (el crecimiento y decrecimiento) antes y después de este valor:

 

 

 

La función B(x) crece antes del punto crítico y decrece después, por lo que en x = 25 hay un máximo. Así pues, para obtener un beneficio máximo debe planificarse producir 25 unidades de ese artículo de pesca deportiva.

 

Calculamos el beneficio al producir esas unidades:

 

 

Al producir 25 unidades de ese artículo de pesca deportiva se produce un beneficio máximo de 857,5 €.

 

Calculamos el precio de venta por unidad:

 

 

El precio de venta de cada unidad de ese artículo de pesca en el caso de fabricar 25 unidades es de 48,75 €.