Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Junio 2024

EJERCICIO 4. Análisis. Considérese la siguiente función:

 

 

donde a, b y c son números reales.

a)  Calcular  a, b y c  sabiendo  que  la  función  f(x)  para  por  (2, 8)  y  que  tiene  un extremo relativo en (0, 16).

b)  Para a = b = 0 y c = 16, calcule el área de la región limitada por la función f(x) y la recta y = 8.

 

 

a)   Como sabemos que la función pasa por el punto (2, 8) podemos sustituirlo en la función:

Los extremos relativos (la coordenada x) son puntos que hacen nula la primera derivada. De aquí obtenemos el valor del primer parámetro:

Además, el extremo relativo es un punto más de la función, por lo que podemos sustituirlo en esta. Con eso conseguimos otro de los parámetros:

Volviendo ahora a la primera de las ecuaciones obtenidas, calculamos el parámetro que falta:

Los valores de los parámetros son exactamente los que nos dan en el apartado siguiente. Por lo tanto, la función es una parábola cuya ecuación es la siguiente:

 

b)  Resolviendo el sistema formado por la parábola y la recta obtenemos los puntos de corte:

 

 

Dibujamos la parábola y la recta e identificamos el área que nos piden. Para ello calculamos el vértice de la primera:

 

 

 

 

Planteamos la integral restándole a la función que encierra el área por la parte superior (la parábola) la que la encierra por la inferior (la recta) entre los valores de x calculados anteriormente: