Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Julio 2024

EJERCICIO 3. Análisis. La función , en donde a, b y c son números reales, pasa por el origen de coordenadas y tiene un máximo en el punto P(4, 16).

a)  Calcule los valores de a, b y c.

b)  Realice  la  representación  gráfica  de  la  función  f(x)  y  determine  el  área  comprendida entre dicha función y el eje OX.

 

a)   Como sabemos que la función pasa por el origen de coordenadas, se cumple:

 

 

El punto donde la función tiene un máximo es un punto por el que pasa, por lo tanto, podemos aplicar la misma condición que para el origen de coordenadas:

 

 

La otra condición, que nos permite calcular otra ecuación, es la de que los máximos (también los mínimos) son puntos donde se anula la primera derivada:

 

 

 

Resolvemos el sistema con las dos últimas condiciones y calculamos los dos parámetros que faltan:

 

 

La función quedaría de la siguiente manera:

 

 

 

b)  Representamos  la  función.  Se  trata  de  una  parábola  y,  del enunciado, ya sabemos el vértice (el máximo de la función). Calculamos los puntos de corte con el eje X:

 

 

La gráfica corta al eje X en los puntos (0, 0) y (8, 0) y tiene un máximo en (4, 16). Hacemos la representación gráfica e identificamos el área a calcular:

 

 

 

Para calcular el área basta con integrar la función f(x) entre los puntos de corte calculados anteriormente:

 

 

 

El área encerrada por la parábola y el eje X es: