Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Julio 2022

3. Análisis:

a)  Obtenga las coordenadas de los vértices del triángulo rectángulo cuya hipotenusa es tangente a la gráfica de  en el punto de abscisa  y que, además, tiene un cateto de longitud 2 situado sobre el eje X. Dibuje la gráfica de f, la recta tangente y el triángulo.

b)  Halle los valores de a y b que hacen que la función , sea derivable.

 

a)   Para calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica necesitamos la primera derivada:

 

 

La pendiente nos la da la derivada de la función en la abscisa del punto de tangencia, es decir, en este caso:

 

 

También necesitamos la otra coordenada del punto de tangencia. Como ese es un punto tanto de la recta tangente como de la función, podremos calcularlo substituyendo en esta última:

 

 

Así entonces, tenemos el punto de tangencia (2,4) y la pendiente . Con lo que utilizando la ecuación punto-pendiente, tenemos la recta que nos piden.

 

 

 

Ahora vamos a calcular el punto de corte de esta recta con el eje X, puesto que sabemos que uno de los catetos del triángulo está sobre este eje:

 

 

La recta corta al eje X en el punto (1,0) y este sería el primero de los vértices del triángulo. Como sabemos que además tiene un cateto de longitud 2 sobre este eje y que la recta tiene una pendiente positiva, es creciente, el segundo vértice estará dos unidades a la derecha de este punto. Por lo tanto, estaría en el punto (3,0). Si el triángulo es rectángulo, si tiene un vértice en el eje X, el otro tiene que ser vertical y pasar por este último punto. Tiene que estar sobre la recta . Así pues, si calculamos el punto de corte de esta recta con la que teníamos antes calculada, la tangente, obtenemos el último vértice:

 

 

El tercer vértice y último estará en el punto (3,8) y ya podemos dibujar el triángulo que nos piden:

 

 

 

 

b)  La función f(x) es continua en  porque las dos partes de la misma son funciones polinómicas. Para que la función sea continua, debe serlo también en el punto x = 1:

 

 

 

 

Esta es la condición que debe cumplir la función para ser continua. Estudiemos ahora la derivabilidad. Como la función es continua en ese punto, puede ser derivable. Lo comprobamos:

 

 

 

Para ser derivable debe cumplir:

 

 

Obtenemos otra condición para que la función sea derivable. Debe cumplir las dos para que sea continua y derivable, por lo que tenemos que resolver el siguiente sistema:

 

 

La función es continua y derivable si    y  .