Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Julio 2021

4. Análisis:

a)  Enuncie el teorema de Rolle.

b)  Calcule el área de la región encerrada por las gráficas de    y  

 

a)   El enunciado del teorema de Rolle sería: 

Sea f(x) una función continua en [a,b], derivable en (a,b) y con , entonces existe al menos un  tal que .

 

 

b)  Antes de nada, vamos a representar las funciones e identificar el área que tenemos que calcular. Para hacer la representación es muy sencillo, porque la función f es una recta y la función g, que consta de dos partes, una también es una recta y, la otra, una parábola que tiene el vértice en el origen de coordenadas. Quedaría así:

 

 

 

Para hacer el dibujo ayuda calcular los puntos de corte de ambas funciones. Para calcular el punto A se resuelve el sistema entre la función f(x) y el primero de los trozos de la función g(x) y, para calcular el punto B, se utiliza el segundo trozo de la función g(x):

 

 

 

Debemos calcular el área en dos partes, puesto que por la parte de abajo esta está encerrada por dos trozos distintos. Comenzamos calculando la primera de ellas, recordando que para eso debemos plantear la integral como la resta de la función que encierra el área por la parte superior, menos la que la encierra por la parte inferior, entre los valores de x que se encuentra esa área:

 

 

 

Del mismo modo calculamos la segunda área:

 

 

 

 

El área total es la suma de las dos áreas: