Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Julio 2021

3. Análisis: 

a)  Enuncie el teorema de Bolzano.

b)  Obtenga los valores de a, b y c que hacen que    cumpla  y tenga extremos relativos en . Decir luego si los extremos son máximos o mínimos.

 

a)   El enunciado del teorema de Bolzano, sería:

Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a,b] y toma valores de signo contrario en los extremos (), entonces existe al menos un c  (a,b) tal que f(c) = 0.

 

 

b)  De la primera condición que nos dicen, obtenemos el valor de c:

 

 

Para calcular los extremos relativos tenemos que hacer la primera derivada:

 

 

Los puntos que deben anular esta derivada son aquellos en los que queremos que la función tenga extremos relativos:

 

 

Resolviendo el sistema obtenemos los valores de a y de b:

 

 

La función, por lo tanto, será la siguiente:

 

 

Para comprobar si los extremos son máximos o mínimos hacemos la segunda derivada y miramos el signo de la misma en los puntos donde se encuentran los extremos: