Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Julio 2020

6. Geometría:

Estudie  la  posición  relativa  de  las  rectas  r  y  s  definidas  por  las  ecuaciones:          y       . Si se cortan, calcule el punto de corte.

 

Vamos primero a calcular las ecuaciones paramétricas de la recta r:

 

La recta s vamos a ponerla también en las ecuaciones paramétricas:

 

 

Los puntos y vectores directores de las dos rectas son:

 

 

Con los puntos de las dos rectas hacemos un vector:  .

 

Ahora en una matriz vamos a poner los dos vectores directores y en otra los dos vectores directores y el vector que hicimos con los puntos de las rectas:

 

 

Calculamos los rangos y sabemos la posición relativa de las rectas:

 

La matriz A tiene rango 2, ya que:  .

 

 

Por lo tanto, los vectores directores son linealmente independientes, es decir, no tienen la misma dirección. Por lo que, las rectas sólo pueden ser o secantes o cruzadas.

 

La matriz A^* también tiene rango 2, ya que:  .

 

 

Por lo que el vector que hicimos con los puntos de ambas rectas está en el mismo plano que el de los vectores directores. Por consiguiente, las rectas son secantes.

Ahora, para calcular el punto de corte igualamos las ecuaciones paramétricas de ambas rectas. El sistema resultante es compatible determinado, tiene una solución que es el punto de corte. Para obtener los valores de las incógnitas, escogemos dos cualquiera de las ecuaciones y resolvemos el sistema. Si comprobamos el resultado en la ecuación no elegida, comprobamos que también la cumple:

 

 

Ahora basta con substituir  en la recta r o  en la recta s:

 

 

El punto de corte de r y s es el punto .