Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Septiembre 2020

PREGUNTA 4.  Análisis. Una pequeña empresa comercializa paraguas a 60 euros la unidad. El coste de producción diario de “x” paraguas viene dado por la función  , estando limitada su capacidad de producción a un máximo de 70 paraguas al día .

a)  Obtenga  las  expresiones  de  las  funciones  que  determinan  los  ingresos y los beneficios diarios obtenidos por la empresa en función del número de paraguas producidos “x”.

b)  Determine  el  número  de  paraguas  que  debe  producir  diariamente  para  obtener  el  máximo beneficio. ¿A cuánto ascienden los ingresos, los costes y los beneficios diarios en este caso? Razone la respuesta.

a)   Los ingresos diarios de la empresa se obtienen por la venta de paraguas y como la unidad la vende a 60 euros, serán:

Los beneficios diarios serán iguales a los ingresos menos los costes, es decir, lo que ingresa por la venta de los paraguas menos lo que le cuesta fabricarlos:

Como la capacidad de producción está limitada a un máximo de 70 paraguas, también lo estarán los ingresos, los costes y los beneficios

b)  Para responder a este apartado tenemos que calcular los extremos relativos de la función beneficios y, para ello, hacemos la primera derivada y la igualamos a cero:

Para comprobar cuál de esos valores es un máximo, los sustituimos en la segunda derivada. Para que sea un máximo nos tendría que dar negativo:

Para calcular los ingresos, los costes y los beneficios para este caso substituimos en las correspondientes funciones:

La empresa obtiene el máximo beneficio si produce diariamente 35 paraguas. En este caso tendría unos ingresos de 2 100 €, unos costes de producción de 875 € y unos beneficios de 1 225 €.