Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Julio 2020

PREGUNTA 4. Análisis. Dada la función  .

a)  Realice su representación gráfica estudiando sus puntos de corte con los ejes, monotonía y extremo relativo.

b)  Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x), el eje OX y las rectas  ,  .

 

a)   Empezamos estudiando los puntos de corte:

 

Corte eje OX:  y = 0

 

 

Hay que tener la precaución de comprobar que los puntos obtenidos pertenezcan al dominio de la función. En este caso sí lo son, porque al ser una función polinómica el dominio es todo .

 

Corte eje OY:  x = 0

 

   ⇒   Punto de corte: 

 

Monotonía:

 

Hacemos la primera derivada e igualamos a cero:

 

 

 

Miramos ahora el signo de la derivada en los intervalos resultantes:

 

 

 

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento quedarán de la siguiente forma:

 

 

 

Extremos relativos:

 

Sabemos que en x = 3/2 hay un punto crítico. En este caso hay un máximo, porque la función antes crece y después decrece. Calculamos la coordenada y de este punto:

 

 

 

b)  Representamos la función, las rectas e identificamos el área a calcular:

 

 

 

Planteamos la integral para calcular el área. Para ello la función que nos encierra la misma por arriba es la parábola y, por abajo, el eje OX, entre los valores x = 1 y x =2: