Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Septiembre 2020

PREGUNTA 3.  Análisis. Los gastos financieros de una organización, en cientos de miles de euros, siguen la función:

 

 

siendo t el tiempo en años transcurridos.

a)  ¿En qué momento los gastos son iguales a 400 000 euros? Razona la respuesta.

b)  ¿Cuándo crece G(t)? ¿Cuándo decrece G(t)? ¿Cuándo los gastos alcanzan su valor mínimo y cuánto valen?

c)   ¿Qué ocurre con los gastos cuando el número de años crece indefinidamente?

 

a)   Para  calcular  cuando  los  gastos  financieros  alcanzan  los  400 000  euros  igualamos  la  función  a 4, puesto que hay que recordar que estos están dados en cientos de miles de euros:

 

 

Los gastos financieros de la organización alcanzan los 400 000 € cuando empieza a funcionar (año 0) y al cabo de 7 años.

 

 

b)  Para calcular el crecimiento y el decrecimiento de la función hacemos la primera derivada:

 

 

Igualando la primera derivada a cero calculamos los puntos críticos:

 

 

Como vemos, al resolver las dos ecuaciones que resultan, no obtenemos ningún valor de t, la t se nos va. Eso quiere decir que la función no tiene puntos críticos. Para calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento lo haremos con los valores en los que están definidos cada intervalo de la función, mirando el signo que toma en ellos la primera derivada:

 

 

 

 

Los gastos financieros decrecen los primeros 3 años y después, a partir de ese momento crecen.

 

El valor mínimo, por tanto, debe estar en el tercer año, puesto que antes decrecen y después crecen. Para calcularlos lo hacemos en el primer trozo de la función, que está definida para ese valor:

 

 

Los gastos financieros son mínimos el tercer año y ascienden a 300 000 €.

 

 

c)   Cuando pasan los años, ya dijimos que los gastos crecen, para saber lo que ocurre al cabo de bastante tiempo calculamos el límite cuando el tiempo tiende a infinito:

 

 

El resultado del límite es cinco, porque el grado del numerador es igual que el del numerador. Cuando esto sucede para calcular el resultado del límite dividimos los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador y del denominador. Esto significa que con el paso del tiempo el número los gastos financieros tienden a 500 000 €.