Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Julio 2019

2.   Da respuesta a los apartados siguientes: 

a)  De  entre  todos  los  triángulos  rectángulos  contenidos  en  el  primer c uadrante  que  tienen un vértice en el origen, otro sobre la parábola , un cateto sobre el eje X y el otro paralelo al eje Y, obtén los catetos y la hipotenusa de aquel cuya área es máxima.

b)  Enuncia los teoremas de Bolzano y de Rolle.

 

a)   Primero hacemos una gráfica, en la que dibujamos uno de los muchos triángulos rectángulos que podrían dibujarse:

 

 

 

El punto A está sobre el eje OX, por lo que su segunda coordenada será cero y el punto B tendrá la primera coordenada igual que el A y la segunda podremos relacionarla con la primera con la ecuación de la parábola. Esto nos permite poner el área del triángulo en función sólo de una variable:

 

 

Para estudiar los máximos y mínimos de la función necesitamos la primera derivada:

 

 

Igualamos a cero y obtenemos los puntos críticos de la función:

 

 

El valor negativo no nos vale, porque nos dicen que el triángulo está en el primer cuadrante. Comprobamos si el otro valor es un máximo o mínimo. Lo hacemos en la segunda derivada:

 

 

 

Obtenemos la medida de los catetos y por Pitágoras la de la hipotenusa:

 

 

 

 

b)   Teorema de Bolzano:

Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a,b] y toma valores de signo contrario en los extremos (), entonces existe al menos un c  (a,b) tal que f(c) = 0.

 

Teorema de Rolle:

Sea  f(x)  una  función  continua  en  [a,b], derivable en (a,b) y con f(a) = f(b), entonces existe al menos un  tal que .