Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Julio 2019

1.   Da respuesta a los apartados siguientes:

a)  Discute, según los valores del parámetro m, el siguiente sistema:

b)  Resuélvelo, si es posible, en los casos  y .

 

a)   Planteamos dos matrices, la de coeficientes (A) y la ampliada con los términos independientes (A^*):

 

Calculamos el determinante de la matriz A para determinar su rango. I:

 

 

Igualamos a cero el determinante para saber qué valores de m lo anulan:

 

 

El rango de la matriz A será:

 

·   Si  .

 

·   Si  , ya que encontramos algún determinante de este orden distinto de cero:

 

 

·   Si , ya que encontramos algún determinante de este orden distinto de cero:

 

 

 

Los casos que tenemos entonces serían los siguientes:

 

·   Si   

   El rango de la matriz ampliada es 3, porque el determinante de A, que era distinto de cero, también está en la matriz ampliada.

 

·   Si 

    El rango de la matriz ampliada es 3 porque hay algún determinante de este orden distinto de cero.

·   Si

    El rango de la matriz ampliada es 2, porque todos los determinantes de orden 3 son cero:

 

 

 

b)  Para el caso de m = 0, el sistema es compatible indeterminad. En este caso la primera ecuación y la tercera son iguales, por lo que podemos eliminar una de ellas:

 

 

Ahora ponemos una incógnita como parámetro, por ejemplo,    y resolvemos:

 

 

Para el caso de m = 2, el sistema es compatible determinado, por lo que tendrá una única solución. La calculamos por Cramer:

 

Para este caso, m = 2, la solución del sistema es .