Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Junio 2019

1.   Da respuesta a los apartados siguientes:

a)  Discute, según los valores del parámetro m, el siguiente sistema:

 

b)  Resuélvelo, si es posible, en los casos  y .

 

a)   Planteamos   dos   matrices,    la  de   coeficientes   (A)   y   la   ampliada   con   los    términos   independientes  (A^*):

 

Calculamos el determinante de la matriz A para determinar su rango. I:

 

 

Igualamos a cero el determinante para saber qué valores de m lo anulan:

 

 

El rango de la matriz A será:

 

·   Si  .

·   Si  , ya que encontramos algún determinante de este orden distinto de cero:

 

·   Si , ya que encontramos algún determinante de este orden distinto de cero:

 

 

 

Los casos que tenemos entonces serían los siguientes:

 

·   Si   

    El rango de la matriz ampliada es 3, porque el determinante de A, que era distinto de cero, también está en la matriz ampliada.

 

·   Si 

    El rango de la matriz ampliada también es 2, porque todos los determinantes de orden 3 son nulos:

 

·   Si

     El rango de la matriz ampliada es 3, porque por lo menos uno de los determinantes de orden 3 es distinto de cero:

 

b)  Para el caso de m = 0, el sistema es compatible indeterminado, por lo tanto, una de las ecuaciones es combinación lineal de las otras. Si sumamos la segunda ecuación y la tercera obtenemos la primera. Por lo tanto, podemos eliminar esa primera ecuación por ser combinación lineal de las otras: 

 

Ahora ponemos una incógnita como parámetro, por ejemplo,    y resolvemos:

 

 

Para el caso de m = 4, el sistema es compatible determinado, por lo que tendrá una única solución. La calculamos por Cramer:

Para este caso, m = 4, la solución del sistema es .