Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Julio 2019

3.   Se pide:

a)  Estudiar la posición relativa de los planos   y    en función de m. 

b)  Calcular el valor que debe tomar k y m para que los puntos ,  y  estén alineados.

c)  Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por los puntos  y  y la ecuación implícita del plano perpendicular a r que pasa por el punto .

 

a)   Hacemos dos matrices, una con los coeficientes de los planos y otra, ampliada, con los coeficientes y los términos independientes:

Calculamos el rango de A:

·   Si , ya que todos los determinantes de orden 2 son cero. Sin embargo, el , porque encontramos algún determinante de este orden distinto de cero:

En este caso los planos serán paralelos. 

·     Si  . Encontramos algún determinante de este orden en cualquiera de las dos matrices, distinto de cero: 

En este caso los planos son secantes.

·   Si  planos secantes.

 

b)  Vamos a hacer dos vectores con los puntos:

Si los puntos están alineados, los vectores formados con ellos deberán estar en la misma dirección, es decir, deberán ser dependientes. Por lo tanto, el rango de la matriz formada por estos vectores tendrá que ser 1:

Así entonces todos los determinantes de orden 2 deben ser cero:

 

 

c)   Calculamos el vector director de la recta:

Con uno de los puntos y con el vector tenemos determinada la recta que nos piden:

Si el plano es perpendicular a la recta, el vector director de esta es el vector normal de aquel:

 

Teniendo el vector normal y un punto del plano, podemos determinarlo: