Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Julio 2019

1.   En  una  caja  hay  billetes  de  5,  10  y  20  por un valor de 400 €. Se sabe que el número de billetes de 20 € es la tercera parte del total y que el número de billetes de 5 € es inferior en 4 unidades al del resto.

a)  Escribe un sistema de ecuaciones que represente el problema.

b)  Escríbelo en forma matricial.

c)   Calcula la matriz inversa de la matriz de coeficientes y resuelve el sistema.

 

a)   Sea:

 

x: nº de billetes de 5 €

y: nº de billetes de 10 €

z: nº de billetes de 20 €

 

La primera ecuación la obtengo sabiendo que hay billetes por un valor de 400 €:

 

 

Nos dicen que el número de billetes de 20 € es la tercera parte del número total de billetes:

 

 

La última ecuación la obtenemos al saber que el número de billetes de 5 € es inferior en 4 unidades al del resto:

 

 

El sistema con las tres ecuaciones quedaría de la siguiente manera:

 

 

b)  Si escribimos el sistema en forma matricial nos quedará:

 

 

c)   Como nos dice el enunciado, calculamos la inversa de la matriz de coeficientes, A. En este caso vamos a calcularla por el método de Gauss-Jordan:

 

 

 

Para que sea más fácil operar, podemos sacar factor común en la matriz inversa y nos queda:

 

 

Para resolver el sistema, sólo tendríamos que despejar X en la ecuación con la que representamos el sistema:

 

 

Como vemos para resolver el sistema nos queda multiplicar la matriz inversa de los coeficientes por la matriz de términos independientes:

 

 

En la caja hay 16 billetes de 5 €, 8 billetes de 10 € y 12 billetes de 20 €.