Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Junio 2019

2.  Dada la función  .

a)  Realiza  su  representación  gráfica  estudiando  sus  puntos de corte con los ejes, monotonía y extremo relativo.

b)  Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función y los ejes de coordenadas.

 

a)   Como la función es una ecuación de segundo grado, se trata de una parábola:

 

Corte eje OX:  y = 0

 

 

Corte eje OY:  x = 0

 

   ⇒   Punto de corte: 

 

Vértice:

 

 

Curvatura:

La parábola es convexa ya que  .

 

Monotonía:

 

Como es convexa sabemos que decrece hasta el vértice y crece después, por lo tanto:

 

 

 

Extremo relativo:

 

Al ser convexa, tendrá un mínimo en el vértice:

 

 

b)  Con estos datos podemos dibujar la parábola e identificar el área a calcular:

 

 

 

Como se ve en el dibujo, el área queda determinada por la parábola, por el eje OX (y = 0) y por el eje OY (x = 0). Planteamos la integral y calculamos el área sombreada: