Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Junio 2018

3.    

a)  Dado el plano  , calcula el valor de a para que la recta r que pasa por los puntos  y  sea paralela al plano .

b)  Para  , calcula la distancia de r a .

c)  Para  , calcula la ecuación implícita o general del plano que es perpendicular a  y contiene a r.

a)   Si  la  recta  pasa  por  los  puntos  P y Q,  podemos  calcular  el vector director de la misma:

Como vemos en el dibujo, si la recta es paralela al plano, el vector director de la recta y el vector normal del plano son perpendiculares. Cumplirán entonces que:

Para a = 1 la recta r pasa por los puntos P y Q y es paralela al plano.

b)  La  distancia  entre  la  recta  y  el  plano  es  igual que la distancia de cualquier punto de la recta al plano, ya que son paralelos:

c)   Para  hacer  la  ecuación  del  plano  necesitamos  un  punto  (por  ejemplo,  el  Q)  y dos vectores contenidos en el mismo. En este caso tanto el vector director de la recta r como el vector normal del plano  lo estarían: