Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2018

3.  Dada la recta 

a)  Calcula  la  ecuación  implícita  o  general  del  plano  que  pasa  por  el  punto  y es perpendicular a r.

b)  Calcula  la  ecuación  implícita  o  general  del  plano  que  pasa  por  los puntos   y    y es paralelo a la recta r.

c)  Calcula la distancia de la recta r al plano  .

 

a)   Vamos  a  empezar  pasando  la  recta  r  a  las  ecuaciones paramétricas, para eso ponemos z como parámetro:

 

Ahora resolvemos el sistema resultante por Cramer:

 

 

La recta r nos quedaría así:

 

 

Como el plano que nos piden es perpendicular a esta recta, su vector normal tiene la misma dirección que el vector director de la recta, por lo que directamente podemos obtener su ecuación:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b)  Hacemos un vector con los puntos P y Q: 

Como el plano que nos piden tiene que ser paralelo a la recta r, el vector director de la misma y el que pasa por los puntos P y Q le darán dirección, pues estarán contenidos en el mismo. Necesitamos además un punto del propio plano, escogemos, por ejemplo, el punto P:

Ese sería el plano que nos piden, pero podemos simplificarlo. Si lo hacemos y lo dividimos entre  vemos que es justo el que nos dan en el último apartado del ejercicio:

 

c)   Después  de  resolver  el  apartado  anterior,  sabemos  que  la  recta  y  el  plano son paralelos, en caso contrario deberíamos de averiguar la posición relativa de ambos antes de calcular la distancia. La distancia, en este caso, es la misma que la que hay entre cualquier punto de la recta y el plano: