Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2018

2.    

a)  Enuncia el teorema de Rolle. Calcula a, b y c para que la función:

cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo  y calcula el punto en el que se cumple el teorema.

b)  Dibuja y calcula el área de la región limitada por la parábola    y la recta  . (Para el dibujo de la parábola, indica: puntos de corte con los ejes de coordenadas, el vértice y concavidad o convexidad).

 

a)   El enunciado del teorema de Rolle sería:

Sea  f(x)  una  función  continua  en  [a,b],derivable en (a,b) y con , entonces existe al menos un  tal que .

 

La primera condición que debe cumplir es que debe ser continua en el intervalo . Podemos afirmar que es continua en  ya que las funciones polinómicas lo son, pero tenemos que asegurarnos de que lo sea en el punto : 

 

 

Estudiemos ahora la derivabilidad. Como la función es continua en ese punto, cumpliendo la condición anterior, puede ser derivable. Lo comprobamos:

 

 

 

 

 

 

Para ser derivable debe cumplir:

 

La última condición que debe cumplir es:

Para calcular los valores pedidos, debemos resolver el sistema con las tres ecuaciones que obtuvimos:

Con estos valores la función nos quedará:

Para calcular el punto en el que se cumple el teorema, hacemos la derivada de la función e igualamos a cero: 

Como el valor obtenido pertenece al intervalo  es el que buscábamos. Calculamos la otra coordenada del punto:

El punto que cumple las hipótesis del teorema de Rolle para esta función y para este intervalo es:

 

b)  Hacemos los cálculos para dibujar la parábola:

 

Corte eje OX:  y = 0

 

 

Corte eje OY:  x = 0

 

   ⇒   Punto de corte: 

 

Vértice:

 

 

Curvatura:

La parábola es convexa ya que  .

 

Vamos a calcular el punto de corte entre la parábola y la recta:

 

 

Con estos datos podemos dibujar tanto la parábola como la recta e identificar el área a calcular:

 

 

 

Planteamos la integral y calculamos el área pedida: