Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Junio 2018

2.    

a)  Calcula:  intervalos  de  crecimiento  y  decrecimiento  y  máximos  y  mínimos  relativos  de   .

b)  Dibuja  y  calcula  el  área  de  la  región  limitada  por la parábola    y la recta  . (Para el dibujo de la parábola, indica: puntos de corte con los ejes, el vértice y concavidad y convexidad).

 

a)   Primero estudiamos el dominio de la función:

A continuación, calculamos la primera derivada:

Igualamos a cero para calcular los posibles máximos y mínimos de la función:

Teniendo en cuenta el dominio y los posibles máximos y mínimos estudiamos el signo de la primera derivada:

 

Teniendo en cuenta que la función es creciente cuando la primera derivada es positiva y decreciente cuando es negativa, los intervalos serían: 

 

Para confirmar si en  hai un máximo o un mínimo miramos el signo de la segunda derivada:

Calculamos la otra coordenada del máximo:

 

b)  Hacemos los cálculos para dibujar la parábola:

 

Corte eje OX:  y = 0

 

 

Corte eje OY:  x = 0

 

   ⇒   Punto de corte: 

 

Vértice:

 

Curvatura:

La parábola es convexa ya que  .

Vamos a calcular el punto de corte entre la parábola y la recta:

 

 

Con estos datos podemos dibujar tanto la parábola como la recta e identificar el área a calcular:

 

 

Planteamos la integral y calculamos el área pedida: