Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2018

1.  Dada la matriz

 

a)  ¿Qué relación existe entre su inversa  y su traspuesta ?

b)  Estudia, según los valores de , el rango de , siendo  la matriz identidad de orden 3. Calcula las matrices  que verifican:

 

 

a)   Empezamos calculando la inversa de la matriz A, para ello, primero calculamos el determinante:

 

Ahora, calculamos la matriz adjunta:

 

 

 

Hacemos la traspuesta:

 

 

Por lo tanto, la inversa sería:

 

 

Calculamos ahora la traspuesta de la matriz A, para ello cambiamos las filas por las columnas o viceversa:

Como vemos, la relación que guardan las dos matrices es que son iguales:

 

b)  Calculamos la matriz :

Calculamos el determinante y lo igualamos a cero para saber que valores lo anulan:

 

 

Ahora simplemente debemos recordar que el rango de una matriz es igual al orden del mayor determinante distinto de cero, por lo que tendríamos los siguientes casos:

 

·   Si  .

·   Si  .

En este último caso el rango es igual a 2 porque para ese valor encontramos determinantes de ese orden distintos de cero como, por ejemplo:

Por último, para buscar las matrices que cumplen la ecuación que nos dicen, vamos a sacar factor común en la misma:

La matriz que multiplica a la matriz X podemos obtenerla a partir de la matriz , sustituyendo  por :

La ecuación nos queda:

Operando obtenemos un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Este sistema sabemos, sin hacer ningún cálculo adicional, que va a ser compatible indeterminado. El motivo es, que la matriz  tiene rango 2 para el valor de  como comprobamos anteriormente. La matriz ampliada también va a ser del mismo rango, porque los términos independientes son todos nulos. Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius como los rangos son iguales y menores al número de incógnitas, el sistema será compatible indeterminado y tendrá infinitas soluciones. Lo resolvemos:

Ahora ponemos una incógnita como parámetro, por ejemplo    y resolvemos:

La matriz que nos piden es: