Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Junio 2018

4.   Un  consumidor  cree  que  el  peso  medio  de  un  producto  es  distinto  del  que  indica el envase. Para estudiar este hecho, el consumidor toma una muestra aleatoria simple de 100 productos en los que se observó un peso medio de 245 g. Se supone además que el peso del producto por envase sigue una distribución normal con desviación típica de 9 g.

a)  Construye un intervalo de confianza para el peso medio de ese producto al 95% de confianza.

b)  ¿Cuál sería el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el verdadero peso medio a partir de la media muestral con un error de estimación máximo de 2 g y un nivel de confianza del 90%?

a)   Se quiere analizar el peso medio de un producto, por lo tanto, la variable sería: X = “peso medio, en gramos, de un determinado producto”  . Para hacer el estudio, se toma una muestra aleatoria de 100 productos, y si  es el estadístico medio de la muestra, el valor particular que toma para la muestra dada es .

La expresión del intervalo de confianza sería:

Vamos a calcular a partir del nivel de confianza :

Ahora podemos calcular el intervalo de confianza:

Se puede concluir que, en base a la muestra dada, se estima con un 95% de confianza, que el peso medio de un determinado producto está comprendido entre 243,24 y 246,77 g.

b)  Calculamos el nuevo nivel de confianza :

En este caso al buscar en la tabla la probabilidad de 0,95 nos queda justo en la mitad de dos valores (1,64 y 1,65) por lo que hacemos la media. Ahora con el error máximo que nos dice, calculamos el tamaño de muestra:

El tamaño de muestra mínimo necesario para estimar el verdadero peso medio con un error de estimación máximo de 2 g y un nivel de confianza del 90% es de por lo menos 55 productos.