Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Septiembre 2018

2.   Un gimnasio abre al público a principios de 2008, la función:

indica como evolucionaron sus ganancias (en miles de euros) en función del tiempo t (en años) transcurrido desde su apertura, correspondiendo t = 0 a principios de 2008.

a)  Estudia en qué períodos se produjo un aumento y en los que se produjo una disminución de sus ganancias.

b)  ¿A cuánto ascendieron las ganancias máximas? ¿En qué año se obtuvieron?

c)   Representa la gráfica G(t). ¿En algún año después de su apertura no se obtuvieron ganancias? ¿A partir de algún año dejó de ser rentable el gimnasio? ¿Cuándo?

a)   Para calcular la monotonía de la función hacemos la primera derivada:

Igualamos a cero la primera derivada para calcular los puntos críticos:

Teniendo en cuenta el dominio de la función  y el posible extremo relativo, estudiamos el crecimiento de la función mirando el signo que toma la primera derivada:

Por lo tanto, las ganancias aumentaron durante los primeros dos años y medio y disminuyeron a partir de ese momento hasta el décimo año.

b)  Como se ve en el apartado anterior, el máximo se alcanza a los dos años y medio. Para calcular las ganancias en ese momento vamos a la función:

Las ganancias máximas se obtuvieron a los dos años y medio de abrir el gimnasio (mediados de 2010) y ascendieron a 62 500 €.

c)   La representación de la función será la siguiente:

Como vemos en la gráfica, en el octavo año (2016) el gimnasio no obtuvo ganancias y a partir de ahí en los dos años siguientes tuvo pérdidas (años 2017 y 2018).