Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Septiembre 2018

4.   En un  estanque  se  desea  estimar  el porcentaje de peces dorados. Para eso, se toma una muestra aleatoria de 700 peces y se encuentra que exactamente 70 de ellos son dorados.

a)  Calcula,  con  un  nivel  de  confianza  del  99%,  un  intervalo  para  estimar la proporción de peces dorados en el estanque.

b)  En el intervalo anterior, ¿cuánto vale el error de estimación?

c)   Considera  dicha  muestra,  ¿qué  le  ocurriría  al  error  de  estimación  si  aumentase  el  nivel de confianza? Justifica la respuesta.

a)   Sea “p = proporción (poblacional) de peces dorados en un estanque”.

Tenemos que, siendo  el estadístico proporción de peces dorados (en una muestra aleatoria) sería:

La expresión del nivel de confianza para la proporción es:

Vamos a calcular, a partir del nivel de confianza, :

Sustituimos y calculamos el intervalo:

Se puede concluir que, en base a la muestra dada, se estima con un 99% de confianza, que la proporción de peces dorados en el estanque está entre 0,0708 y 0,1292.

b)  El error de estimación se calcula:

Admitimos un erro máximo de estimación de  para el intervalo anterior.

c)   Si  aumentamos  el  nivel  de  confianza  vamos  a  tener  un  intervalo  de  mayor amplitud, esto es lógico, para “confiar” más en lo que hemos estimado hemos de ser necesariamente menos precisos, luego el intervalo aumenta. Como el error, al ser un intervalo de confianza simétrico, es la mitad del ancho de este al aumentar también lo hace el error que cometemos.