Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Junio 2018

2.  Dada la función  .

a)  Calcula la primitiva F de f verificando que .

b)  Estudia el crecimiento y decrecimiento y representa gráficamente la función f.

c)   Calcula el área limitada por la curva f(x) y el eje X entre x = 0 y x = 2.

 

a)   Para calcular las primitivas de una función debemos integrarla:

 

 

De esta manera obtendríamos infinitas primitivas, que diferirían unas de otras en una constante. Ahora bien, para que una función admita primitivas en un intervalo debe ser continua en ese intervalo. En este caso las admite ya que al ser una función polinómica es continua en todo . Resolvemos entonces la integral:

 

 

Para calcular la constante nos dan el valor de la primitiva en un punto:

 

Por lo tanto, la primitiva buscada sería:

 

 

b)  Para  estudiar  el  crecimiento  y  decrecimiento  de  una  función  hacemos  la  primera derivada e igualamos a cero para calcular los posibles máximos y mínimos:

 

 

 

Teniendo en cuenta los valores hallados miramos el signo de la primera derivada para calcular la monotonía de la función:

 

 

 

 

 

Viendo el crecimiento y el decrecimiento ya sabemos que la función tiene un máximo en el primero de los puntos y un mínimo en el segundo. Calculamos la segunda coordenada de ambos para poder hacer la representación gráfica:

 

 

 

 

 

Hacemos la representación gráfica:

 

 

 

c)   Para calcular el área limitada por la curva necesitamos saber los puntos de corte de esta con el eje X:

 

 

Dibujamos el área pedida:

 

 

 

Planteamos dos integrales, una de ellas con signo menos porque tenemos el área encerrada en la parte negativa, y calculamos: