Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2017

1.    

a)  Discute, según los valores del parámetro m, el sistema de ecuaciones:

 

 

b)  Resuélvelo, si es posible, cuando  .

 

a)  Planteamos dos matrices, la de coeficientes (A) y la ampliada con los términos independientes (A^*):

 

 

Calculamos el determinante de la matriz A para determinar su rango:

 

 

Igualamos a cero el determinante para saber qué valores de m lo anulan:

 

 

El rango de la matriz A será:

 

·    Si  .

 

·    Si  , ya que encontramos algún determinante de este orden distinto de cero:

 

Los casos que tenemos entonces serían los siguientes:

 

·       Si 

El rango de la matriz ampliada es 3, porque el determinante de A, que era distinto de cero, también está en la matriz ampliada.

 

·       Si 

Para este valor de m, todos los términos independientes son ceros, por lo que todos los determinantes que calculamos añadiendo una columna de ceros van a ser nulos y, por consiguiente, no va a haber ningún determinante de orden 3 distinto de cero.

 

b)  Para el caso de m = 0, el sistema es compatible indeterminado, por lo tanto, una de las ecuaciones es combinación lineal de las otras. Si multiplicamos la segunda ecuación por dos y le sumamos la tercera obtenemos la primera. Por lo tanto, podemos eliminar esa primera ecuación por ser combinación lineal de las otras:

 

 

Ahora ponemos una incógnita como parámetro, por ejemplo,    y resolvemos: