Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Junio 2017

1.    

a)  Discute, según los valores del parámetro m, el sistema de ecuaciones:

 

 

b)  Resuélvelo, si es posible, cuando  .

 

a)  Planteamos dos matrices, la de coeficientes (A) y la ampliada con los términos independientes (A^*):

 

 

Calculamos el determinante de la matriz A para determinar su rango:

 

 

Por lo que el rango de la matriz de coeficientes es menor de tres. Comprobamos si es dos:

 

 

Independientemente del valor del parámetro podemos afirmar que el rango de la matriz de coeficientes es 2. El rango de la matriz ampliada, como mucho es 3. Calculemos uno de esos determinantes de orden 3:

 

 

El rango de la matriz ampliada será tres para valores de m distintos de 1 y dos para ese valor del parámetro. Tendríamos entonces dos casos:

 

·    Si 

 

·    Si 

 

 

b)  Para el caso de m = 1, el sistema es compatible indeterminado, por lo tanto, una de las ecuaciones es combinación lineal de las otras. Si multiplicamos la tercera ecuación por dos y le restamos la segunda obtenemos la primera. Por lo tanto, podemos eliminar esa primera ecuación por ser combinación lineal de las otras:

 

 

Ahora ponemos una incógnita como parámetro por ejemplo,    y resolvemos: