Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2017

3.   Sea r la recta que pasa por los puntos  y  y s la recta  

 

a)          Estudia su posición relativa.

 

b)          ¿Es s paralela al plano YZ? ¿Está contenida en dicho plano?

c)          Calcula la distancia de la recta r al plano .

 

a)  Vamos primero a calcular las ecuaciones paramétricas de la recta r:

 

 

La recta s vamos a ponerla también en las ecuaciones paramétricas, para eso vamos a pasar la z como parámetro:

 

 

Así entonces las ecuaciones paramétricas de s serían:

 

 

De la recta s obtenemos un punto y el vector director:

 

 

Los puntos y vectores directores de las dos rectas son:

 

 

Con los puntos de las dos rectas hacemos un vector:  .

 

Ahora en una matriz vamos a poner los dos vectores directores y en otra los dos vectores directores y el vector que hicimos con los puntos de las rectas:

 

Calculamos los rangos y sabemos la posición relativa de las rectas:

La matriz A tiene rango 2, ya que:  .

 

Por lo tanto, los vectores directores son linealmente independientes, es decir, no tienen la misma dirección. Por lo que, las rectas sólo pueden ser o secantes o cruzadas.

La matriz A^* tiene rango 3, ya que:  .

 

 

Por lo que el vector que hicimos con los puntos de ambas rectas no está en el mismo plano que el de los vectores directores. Por consiguiente, las rectas son cruzadas.

 

b)  Para obtener la ecuación del plano YZ, necesitamos un vector normal, es decir, perpendicular al propio plano.  Cualquier vector que vaya en la dirección del eje X es perpendicular a ese plano y nos vale, por ejemplo:

 

Así entonces la ecuación del plano nos quedaría:

 

 

Para tener la ecuación sólo necesitamos ahora un punto del plano. Nos vale cualquier punto del plano YZ, por ejemplo, el (0,0,0), que lo sustituimos en la ecuación anterior para obtener el valor de D:

El plano YZ tendrá de ecuación:

 

Para que la recta sea paralela al plano, el vector director de la recta deberá ser perpendicular al vector normal del plano:

 

 

Para comprobarlo utilizamos el producto escalar. Recordamos que el producto escalar de dos vectores perpendiculares es igual a cero:

 

Como vemos los vectores son perpendiculares, por lo que, o bien la recta está contenida en el plano o bien es paralela al mismo. Para saber en cuál de los dos casos estamos, cogemos un punto de la recta y vemos si pertenece o no al plano, sustituyéndolo en el mismo y viendo si cumple o no la ecuación: 

 

Como vemos, no cumple la ecuación del plano, por lo que la recta no está contenida en el plano, si no que es paralela al mismo.

 

c)   Antes de calcular la distancia vamos a estudiar la posición relativa de la recta y del plano, puesto que si son paralelos tiene sentido calcular la distancia, en otro caso, si son secantes o coincidentes, la distancia es cero. Como vimos en el apartado anterior, para que sea paralela al plano, los vectores directores y normal tienen que ser perpendiculares. Lo comprobamos:

 

 

 

 

Como vemos, los vectores son perpendiculares, así que como dijimos, o bien la recta es paralela al plano o bien está contenida en el mismo. Como antes, cogemos un punto de la recta y vemos si pertenece o no al plano:

 

 

El punto de la recta no pertenece al plano, por lo que son paralelos. Calcular la distancia de una recta paralela a un plano, es lo mismo que calcular la distancia de cualquiera de los puntos de la recta al plano:

 

 

 

La distancia entre la recta y el plano es de: