Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2017

2.    

a)  Calcula:

 

i)      ;   ii)   

 

b)  La  derivada  de  una  función f(x), cuyo dominio es , es . Determina la función f(x) teniendo en cuenta que su gráfica para por el punto .

 

c)   Determina, si existen, los máximos y mínimos relativos de f(x).

 

a)  El  primer  límite  lo  resolvemos  aplicando una vez la regla de L’Hôpital para resolver la indeterminación :

 

 

 

 

El resultado de este límite es:

 

 

Resolvemos el segundo límite propuesto aplicando dos veces la regla de L’Hôpital, derivando el numerador y el denominador, para la indeterminación :

 

 

 

El resultado del límite es:

 

 

 

b)  Para obtener la función debemos obtener las primitivas de f’(x) y para eso tenemos que integrar la función:

 

 

Ahora vamos a resolver esa integral que nos queda, lo hacemos por partes:

 

La fórmula sería:

 

 

 

 

La integral quedaría:

 

 

Si ahora vamos a la expresión (1) tenemos:

 

 

 

Para calcular la constante de integración, sabemos que la función pasa por el punto (1,4):

 

 

La función que nos piden es:

 

c)   Para calcular los máximos y mínimos relativos tenemos que igualar la primera derivada a cero:

 

Como este punto pertenece al dominio de la función, vamos a comprobar si es un máximo o un mínimo, para ello, hacemos la segunda derivada:

 

 

Substituimos el posible máximo o mínimo en la segunda derivada:

 

 

Calculamos, por último, la otra coordenada de ese mínimo:

 

 

La función tiene un mínimo relativo en el punto: