Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Septiembre 2017

2)  Sean las funciones  y .

 

(a)    Representa el recinto limitado por las gráficas de f(x) y g(x), estudiando los puntos de corte con los ejes, máximos, mínimos y los puntos en los que se cortan ambas funciones.

 

(b)    Calcula el área de dicho recinto.

 

 

(a)    Hacemos los cálculos necesarios para dibujar las parábolas.

 

 

 

Corte eje OX:  y = 0

 

 

Corte eje OY:  x = 0

 

   ⇒   Punto de corte: 

 

Vértice:

 

 

Máximos y mínimos:

La parábola es convexa ya que  , por lo tanto, el vértice es un mínimo de la función.

 

 

 

 

Corte eje OX:  y = 0

 

 

Corte eje OY:  x = 0

 

   ⇒   Punto de corte: 

 

Vértice:

 

 

 

Máximos y mínimos: 

La parábola es cóncava ya que  , por lo tanto el vértice es un máximo de la función.

 

 

 

Vamos a calcular los puntos de corte entre las parábolas:

 

 

Con todo lo calculado, representamos las parábolas e identificamos el área a calcular:

 

 

 

 

(b)    Para  calcular  el  área  planteamos  la  integral  definida, entre las coordenadas x de los puntos de corte. En dicha integral pondremos la parábola que encierra esa área por la parte superior, g(x), menos la que la encierra por la parte inferior, f(x):

 

 

 

 

El área entre las dos parábolas es  u.