Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Junio 2017

2.  Los beneficios de una compañía en millones de euros, en sus primeros siete años, han sido estimados por la función , donde x indica el tiempo transcurrido en años, desde su fundación.

(a)  Calcula los valores de a y b sabiendo que la compañía tuvo unos beneficios máximos de 8 millones de euros en el segundo año.

 

(b)   Supongamos que a = 1/4 y b = 9. Determina cuando la empresa no ha tenido beneficios. Calcula .

 

 

(a)    Si la función tiene un máximo en el punto (2,8), se cumple:

 

 

Para calcular los máximos y los mínimos de la función debemos hacer la primera derivada:

 

 

La abscisa del máximo debe anular la primera derivada:

 

 

Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones y calculamos los parámetros:

 

 

Para que la función de beneficios tenga un máximo el segundo año de 8 millones de euros, los parámetros tienen que valer:  y .

 

(b)    Para esos valores, la función nos quedaría:

 

 

Para calcular cuando la empresa no tuvo beneficios, hacemos B(x) = 0:

 

 

Sabemos, entonces, que no tuvo beneficios justo al arrancar la empresa y en el sexto año.

 

Planteamos la integral y resolvemos: