Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Junio 2017

2.  El número de unidades en miles vendidas por una empresa del sector editorial durante su primer año de existencia se ha estimado por la función:

 

 

donde t es el tiempo transcurrido en meses desde la creación de la empresa.

 

(a)    En los primeros siete meses, calcula las ventas máximas y el mes en el que se han alcanzado. Justifica si éstas han sido las máximas ventas alcanzadas por la empresa en ese año. Representa la gráfica de V(t).

(b)   A partir del séptimo mes, ¿en qué periodo el número de ventas fue menor o igual a 32 000 unidades?

 

(a)    Para contestar a lo que nos preguntan vamos a calcular el crecimiento, el decrecimiento y los extremos relativos de la función. Para eso hacemos la primera derivada y la igualamos a cero:

 

 

 

Miramos el signo de la primera derivada en los intervalos que nos quedan:

 

 

 

 

 

Como se puede observar, hay un máximo relativo en el sexto mes. Calculamos las unidades vendidas en ese mes:

 

 

Por lo tanto, en los siete primeros meses las máximas ventas fueron de 36 000 unidades y se alcanzaron en el sexto mes. Para saber si son las máximas ventas del año, debemos calcular las ventas que hubo en el duodécimo mes, puesto que la función vuelve a crecer:

 

 

Como vemos las máximas ventas alcanzadas en los siete primeros meses no son las máximas del año. Éstas se producen en el duodécimo mes con 40 000 unidades.

 

Para dibujar la gráfica vamos a calcular además de los datos que ya tenemos, los valores que toma la función al principio y al final de cada intervalo:

 

 

 

La gráfica de la función será:

 

 

 

(b)    Para calcular el periodo en el que las ventas fueron iguales o inferiores a 32 000 unidades, a partir del séptimo mes, formulamos una inecuación con el segundo trozo de la función:

 

 

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

 

 

En los intervalos que nos quedan con las soluciones de la ecuación, miramos cuáles cumplen la inecuación planteada:

 

 

 

 

Los intervalos que cumplen la inecuación y que, por lo tanto, equivalen a los periodos de tiempo en los que el número de ventas fue igual o inferior a 32 000 unidades, serían desde el octavo al décimo mes.