Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2016

4.    

a)       Enuncia el teorema fundamental del cálculo integral. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función    ,  en el punto de abscisa .

b)       Calcula  .

 

a)  El enunciado del teorema fundamental del cálculo integral sería:

 

Si    es continua en , entonces    es derivable en  y  .

 

Usando el teorema fundamental del cálculo sabemos que la derivada de la función sería:

 

 

Para calcular la recta tangente necesitamos la pendiente de la recta, que la obtenemos con la derivada de la función en la abscisa del punto de tangencia:

 

 

Y para calcular la otra coordenada del punto de tangencia, debemos calcular la imagen de la coordenada equis del punto: 

Obtenemos este resultado, porque los límites de integración son iguales y, según la regla de Barrow, la integral definida es igual a la diferencia entre los valores que toma la primitiva. En este caso esos dos valores son el mismo y, por lo tanto, la diferencia es cero.

Para calcular la ecuación de la recta tangente, usamos la ecuación punto-pendiente:

 

 

Substituyendo obtenemos la recta buscada:

 

 

b)  Primero vamos a resolver la integral indefinida:

 

 

La haremos por partes:

 

 

 

 

La integral quedaría:

 

 

Llegamos a una integral racional en la que el numerador es mayor que el denominador, por lo que podemos dividir:

 

Aplicando la regla de la división:

 

 

 

 

Por lo tanto, la integral nos quedará:

 

 

 

 

Una vez resuelta la integral indefinida, ahora vamos a resolver la definida:

 

 

 

 

El resultado final de la integral será: