Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Junio 2016

4.   Dada la función 

 

a)          ¿Es  derivable en , para algún valor de a?

b)          Para , calcula el área de la región limitada por la gráfica  y el eje OX.

 

a)  Para que una función sea derivable en un punto, primero ha de ser continua. Vamos a estudiar la continuidad en x=1:

 

 

 

Para que f(x) sea continua debe cumplir:

 

 

 

Para ese valor de a la función quedaría:

 

 

Para estudiar la derivabilidad vamos a estudiar las derivadas laterales en x = 1:

 

 

 

 

No es derivable para ningún valor de a, puesto que para el valor de a que es continua no es derivable, ya que:

 

 

b)  Vamos a dibujar la función e identificar el área que tenemos que calcular:

 

 

 

El área que tenemos que calcular es la que está sombreada. La dividimos en dos, puesto que el trozo de función que la encierra por la parte superior es distinto.

Calculamos ambas áreas:

 

 

 

 

 

Por lo tanto el área total será: