Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2016

3.   Dibuja la gráfica de:

 

estudiando: dominio, simetrías, puntos de corte con los ejes, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos, puntos de inflexión e intervalos de concavidad y convexidad.

 

Primero vamos a operar la función:

 

 

Vamos a ir calculando cada uno de los puntos que nos piden:

 

Dominio: El dominio de una función racional son todos los valores reales, menos aquellos que anulan el denominador.

 

 

 

Simetrías:

La función par o función simétrica con respecto al eje OY  si cumple que :

 

 

No es función par o no tiene simetría con respecto al eje OY.

 

La función es impar o es simétrica con respecto al origen de coordenadas si cumple que  :

 

 

Tampoco es una función impar o simétrica con respecto al origen de coordenadas.

 

 

Puntos de corte con los ejes:

 

Cortes con el eje OX:  y = 0

 

 

 

No corta al eje OX.

 

Cortes con el eje OY:  x = 0

 

Corta al eje OY en el punto .

 

 

Asíntotas:

 

Asíntotas verticales: comprobamos la existencia en el punto que no es del dominio

 

 

Asíntotas horizontales:

 

 

No hay asíntotas oblicuas porque hay asíntota horizontal.

 

 

Crecimiento y decrecimiento: hacemos la primera derivada e igualamos a cero

 

 

 

 

 

Al no anularse la primera derivada significa que la función no tiene ni máximos ni mínimos relativos. Con el domino miramos el signo de la primera derivada:

 

 

 

f(x) es creciente en: 

f(x) es decreciente en: 

 

 

 

Máximos y mínimos: como comentamos en el apartado anterior la función no tiene ni máximos ni mínimos relativos.

 

 

Puntos de inflexión: hacemos la segunda derivada y la igualamos a cero para obtenerlos.

 

 

 

Al no tener solución la ecuación, no existen puntos de inflexión.

 

 

Concavidad y convexidad: para obtener los intervalos de la curvatura, al no haber puntos de inflexión, utilizamos simplemente el dominio de la función.

 

 

 

La función f(x) es convexa en: 

 

 

Representación gráfica: Con todo lo calculado anteriormente podemos trazar la gráfica de la función.