Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2016

2.   Dadas las rectas          y   

a)  Estudia su posición relativa.

b)  Calcula la ecuación implícita o general del plano que contiene a r y es paralelo a s.

c)   Calcula la distancia entre r y s.

a)  En primer lugar, vamos a poner la recta s en las ecuaciones paramétricas, para ello, vamos a poner una de las incógnitas como parámetro, por ejemplo  , y resolvemos el sistema resultante:

Identificamos los puntos y los vectores de ambas rectas:

Con los puntos de las dos rectas hacemos un vector:

Ahora en una matriz vamos a poner los dos vectores directores y en otra los dos vectores directores y el vector que hicimos con los puntos de las rectas:

Calculamos los rangos y sabemos la posición relativa de las rectas:

La matriz A tiene rango 2, ya que hay algún determinante de ese orden distinto de cero:

La matriz A^* tiene rango 3, ya que el determinante de orden 3 es no nulo:

Por el rango de la matriz A sabemos que los vectores directores son linealmente independientes, es decir, no tienen la misma dirección. Por lo tanto, las rectas o bien son secantes o cruzadas. Como el rango de la matriz ampliada es 3, descartamos el que estén en un mismo plano y por lo tanto las rectas son cruzadas.

b)  Para determinar el plano tenemos que, cualquier punto de la recta r va a ser también del plano y que los vectores directores de ambas rectas van a tener la dirección del plano. En el caso del vector director de la recta s vamos a utilizar un vector proporcional, puesto que tiene la misma dirección y nos facilita el cálculo:

c)   Como en el apartado anterior calculamos un plano,  ,  que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s. Si calculamos la distancia entre cualquier punto de la recta s y el plano    ya tenemos la distancia entre las dos rectas: