Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Junio 2016

2.   Dada la rectas   

 

a)  Calcula  la  ecuación  implícita  o  general del plano  que pasa por el punto   y es perpendicular a la recta r.

b)  Estudia  la  posición  relativa  de  la recta r y la recta s que pasa por los puntos  y .

c)   Calcula el punto de la recta r que equidista de los puntos  y .

 

a)  Primero vamos a poner la recta en las ecuaciones paramétricas. Para ello, vamos a parametrizar una de las incógnitas:

 

Ahora despejando y de la primera ecuación y substituyendo en la segunda obtenemos:

 

 

La recta en paramétricas quedará:

 

 

Si el plano es perpendicular a la recta, el vector normal del plano y el vector director de la recta son paralelos, por lo que teniendo el vector normal y un punto, tenemos determinado el plano:

 

El plano que nos piden es:

 

b)  Vamos a escribir las ecuaciones paramétricas de la recta s. Para ello calculamos el vector director de la recta, que va a ser el vector :

 

 

Los puntos y vectores directores de las dos rectas son:

 

 

Con los puntos de las dos rectas hacemos un vector:  .

 

Ahora en una matriz vamos a poner los dos vectores directores y en otra los dos vectores directores y el vector que hicimos con los puntos de las rectas:

 

Calculamos los rangos y sabemos la posición relativa de las rectas:

La matriz A tiene rango 2, ya que:  .

 

Por lo tanto los vectores directores son linealmente independientes, es decir, no tienen la misma dirección. Por lo tanto las rectas sólo pueden ser o secantes o cruzadas. 

La matriz A^* tiene rango 3, ya que:  .

 

 

Por lo que el vector que hicimos con los puntos de ambas rectas no está en el mismo plano que el de los vectores directores. Por consiguiente las rectas son cruzadas.

 

c)   Lo  primero  aprovechando  que  tenemos  la  recta  r  en paramétricas, vamos a coger un punto genérico de esa recta, sería:

 

Ahora vamos a calcular la distancia de ese punto al punto P. Para ello, primero calculamos un vector con los dos puntos:

 

 

 

 

 

Y hacemos exactamente lo mismo para calcular la distancia de este punto genérico al punto Q:

 

 

 

 

Por último, sólo nos queda igualar estas dos distancias para calcular el punto que nos piden:

 

Substituyendo este valor en el punto genérico que tomamos obtenemos el punto que equidista de la recta r que equidista de los puntos P y Q es: