Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2016

1.    

a)  Discute, según los valores de m, el sistema:

 

 

b)  Resuélvelo cuando  .

 

a)  Planteamos dos matrices, la de coeficientes (A) y la ampliada con los términos independientes (A^*):

 

 

Calculamos el determinante de la matriz A y lo igualamos a cero para saber qué valores anulan dicho determinante y poder así discutir los rangos:

 

 

Los casos que tenemos son:

 

·    Si 

 

·    Si  ,  ya que  .

 

 

Para este último caso todos los determinantes de orden 3 de la matriz ampliada son nulos, por tanto, el determinante de mayor orden distinto de cero es de orden 2.

 

 

En resumen:

 

 

 

b)  Para el caso de m = 5, el sistema es compatible indeterminado, por lo tanto, una de las ecuaciones es combinación lineal de las otras. Si multiplicamos la primera ecuación por dos y le sumamos la tercera obtenemos la segunda. Por lo tanto, podemos eliminar esa segunda ecuación por ser combinación lineal de las otras:

 

 

Ahora ponemos una incógnita como parámetro, por ejemplo    y resolvemos utilizando la regla de Cramer:

 

 

 

La solución del sistema para    es: